Nel gernnaio 1832 Gauss ricevette dall'Ungheria un libro dell’amico Farkas Bolyai, con un`appendice su “La scienza assoluta della spazio”. Quest'ultima non era però dell’amico, ma di suo figlio Janus, e riportava risultati che risalivano a una decina d’anni prima. Il giovane Bolyai aveva iniziato a lavorare sul postulato delle parallele già da studente, insieme a un compagno. Dopo i fallimenti dei loro primi tentativi di dimostrazione, si era convinto che non bisognava “fare violenza alla natura”, e aveva appunto cominciato a sviluppare una teoria assoluta dello spazio.
Venuto a saperlo, il padre aveva cercato di dissuaderlo, essendosi già lui stesso cimentato inutilmente sull’argomento delle parallele.
Ma, naturalmente, i consigli dei genitori sono fatti per essere disattesi. E già il 3 novembre 1823, a soli 21 anni, il giovane Janos poteva riferire al padre di aver fatto scoperte tanto meravigliose da esserne quasi sopraffatto. Nel 1825 scrisse un primo resoconto delle sue ricerche, e nel 1829 completò un manoscritto definitivo: quello, appunto, in seguito pubblicato dal padre.
Come annunciato fin dal titolo, La scienza assoluta dello spazio sviluppava una geometria assoluta, completamente indipendente da assunzioni sulle parallele. I suoi teoremi erano dunque formulati in una forma generale, da cui si potevano derivare le versioni euclidea e non euclidea assumendo, rispettivamente, il postulato delle parallele o la sua negazione.
Bolyai dimostrò che la teoria della costruibilità dei poligoni fa parte della geometria assoluta.
Dunque, i poligoni regolari costruibili sono gli stessi nella geometria euclidea e in quella non euclidea. In particolare, in entrambi i casi sono costruibili i poligoni regolari a 17, 257 e 65.537 lati, visto che Gauss aveva dimostrato a 19 anni che essi erano costruibili nella geometria euclidea.
Analogamente, Bolyai dimostro che anche la teoria dei solidi regolari fa pane della geometria assoluta. Dunque, i solidi regolari sono gli stessi nella geometria euclidea e in quella non euclidea. In particolare, in entrambi i casi ce ne sono solo cinque. Con una differenza, però: che mentre ciascun poligono o solido regolare é sostanzialmente unico nella geometria euclidea, a parte la scala, nella geometria non euclidea ci sono infinite versioni di ciascun poligono o solido regolare. Al limite, i poligoni e i solidi regolari non euclidei ammettono versioni “ideali”, con i vertici all’infinito e gli angoli dei lati o delle facce nulli.
Per inciso, mentre solo il cubo può piastrellare lo spazio euclideo, e in un unico modo, tutti e cinque i solidi regolari possono piastrellare lo spazio non euclideo, in otto modi. Più precisamente, ci sono quattro piastrellazioni con solidi finiti, scoperte da Victor Schlegel nel 1883, i cui tasselli sono cubi, dodecaedri (in due modi diversi) o icosaedri. E ci sono altre quattro piastrellazioni con solidi “ideali”, scoperte nel 1954 da Donald Coxeter, i cui tasselli sono tetraedri, cubi, ottaedri o dodecaedri.
I risultati precedenti sulle costruzioni con riga e compasso non devono tuttavia far supporre che esse siamo sostanzialmente le stesse, nelle due geometrie.
Al contrario, il dettagliato confronto intrapreso da Janos Bolyai produsse un risultato spettacolare e inatteso. Egli dimostro che il maggior problema insolubile nella geometria euclidea é invece risolubile in quella non euclidea. In quest’ultima, infatti, il cerchio è quadrabile usando soltanto la riga e il compasso! ·
Per farlo, Bolyai mostrò come costruire da un lato un quadrato, e dall'altro lato un cerchio, aventi una stessa area magica: cioé, il limite superiore delle aree dei triangoli, di cui Gauss aveva parlato al padre di Bolyai fin dal 1799. Quest’area corrisponde a un triangolo con somma angolare nulla: cioè, a un triangolo “ideale” coi tre vertici all’infinito.
Janos Bolyai dimostrò che la stessa area corrisponde anche a due figure finite e costruibili. Più precisamente un quadrato, con i quattro angoli di 45 gradi. E un cerchio, avente per raggio un segmento tale che la parallela asintotica alla sua bisettrice tirata da un vertice forma un angolo di 45 gradi con la perpendicolare alla perpendicolare alla parallela asintotica tirata dall'altro vertice. Sembra uno scioglilingua, e invece è il capolavoro del giovane ungherese che scoprì da solo, anche se non unico, la geometria non euclidea.
di Piergiorgio Odifreddi
Le Scienze - marzo 2011 p.24
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